Sistem Bilangan

MATERI

SISTEM BILANGAN

1.    Pendahuluan

      Sistem analog/digital  memproses sinyal-sinyal  bervariasi dengan  waktu  yang memiliki nilai-nilai kontinyu/diskrit seperti yang terlihat pada gambar 1.

Gambar 1 : sinyal analog vs sinyal diskrit

Beberapa keuntungan sistem digital dibandingkan dengan sistem analog adalah :

-          Kemampuan mereproduksi sinyal yang lebih baik dan akurat

-          Mempunyai reliabilitas yang lebih baik (noise lebih rendah akibat imunitas yang lebih baik)

-          mudah di disain, tidak memerlukan kemampuan matematika khusus untuk memvisualisasikan sifat-sifat rangkaian digital yang sederhana

-          fleksibilitas dan fungsionalitas yang lebih baik

-          kemampuan pemrograman yang lebih mudah

-          lebih cepat (debug IC complete complex digital dapat memproduksi sebuah keluaran lebih kecil dari 2 nano detik)

-          Ekonomis jika dilihat dari segi biaya IC yang akan menjadi rendah akibat pengulangan dan produksi massal dari integrasi jutaan elemen logika digital pada sebuah chip  miniatur tunggal.

            Sistem digital  menggunakan  kombinasi-kombinasi  biner  BENAR  &  SALAH untuk menyerupai cara ketika  menyelesaikan  masalah sehingga disebut  juga  logika-logika kombinasional. Dengan sistem digital dapat digunakan langkah-langkah berpikir logis atau keputusan-keputusan  masa  lalu  (memori)  untuk  menyelesaikan  masalah sehingga biasa disebut logika-logika sekuensial (terurut).

Logika digital dapat direpresentasikan dengan beberapa cara yaitu :

-          Tabel kebenaran (truth table) menyediakan suatu daftar setiap kombinasi yang mungkin dari masukan-masukan biner pada sebuah rangkaian digital dan keluaran-keluaran yang terkait.

-          Ekspresi-ekspresi  Boolean  mengekspresikan  logika  pada  sebuah  format fungsional.

-          Diagram gerbang logika (logic gate diagrams)

-          Diagrams penempatan bagian (parts placement diagrams)

-          High level description language (HDL)

2. Macam-macam Sistem Bilangan

Beberapa sistem bilangan :

a.    Bilangan Desimal

Bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki basis 10

Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 ( r = 10 )

b.    Bilangan Biner

Bilangan biner adalah bilangan yang memiliki basis 2

Bilangan tersebut adalah 0 dan 1 ( r = 2 )

c.    Bilangan Oktal

Bilangan oktal adalah bilangan yang memiliki basis 8

Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 ( r = 8 )

d.    Bilangan Heksadesimal

Bilangan Heksadesimal adalah bilangan yang memiliki basis 16

Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F ( r = 16 )

3.    Konversi Bilangan

            Dalam mengolah data digital, tak jarang ditemukan suatu sistem bilangan dengan suatu basis tertentu harus diolah dengan menggunakan suatu sistem bilangan yang lain, misalnya: suatu data dalam sistem bilangan heksadesimal diolah dalam sistem desimal. Agar dapat diolah, maka diperlukan konversi sistem bilangan.

3.1  Konversi Sistem Bilangan ke Desimal

a.    Konversi Bilangan Biner ke Bilangan Desimal

            Di sini bilangan yang akan dikonversi adalah 1011001₂. Langkah yang akan dilakukan adalah mengalikan bilangan berikut dengan angka delapan yang berpangkat, mulai 0 untuk yang paling belakang (LSB) sampai pangkat tertinggi untuk yang terdepan (MSB). Kemudian hasil perkalian tersebut dijumlah. Berikut langka-langkahnya :

(1x2⁰)+(0x2¹)+(0x2²)+(1x2³)+(1x2⁴)+(0x2⁵)+(1x2⁶) = 1+0+0+8+16+0+64 = 89

Jadi, BIlangan decimal dari hasil konversi bilangan biner 1011001₂ adalah 89

b.    Konversi Bilangan Oktal ke Desimal

            Di sini bilangan yang akan dikonversi adalah 43₈. Langkah yang akan dilakukan adalah mengalikan bilangan berikut dengan angka delapan yang berpangkat, mulai 0 untuk yang paling belakang (LSB) sampai pangkat tertinggi untuk yang terdepan (MSB). Kemudian hasil perkalian tersebut dijumlah. Berikut langkah-langkahnya :

(3x8⁰)+(4x8¹)= 3+32 = 35

Jadi, BIlangan desimal dari hasil konversi bilangan Oktal 43₈ adalah 35

c.    Konversi Bilangan Hexadesimal ke Bilangan Desimal

            Pada pembahasan ini yang akan coba dikonversi adalah bilangan 4FC₁₆. Untuk melakukan konversi ini maka bilangan hexadesimal tersebut dikalikan dengan angka 16 yang berpangkat.Perkaliannya adalah sebagai berikut :

F adalah angka 15 dalam desimal, C adalah angka 12 dalam decimal

(12x16⁰)+(15x16¹)+(4x16²) = 12 + 240 + 1024 = 1276

Jadi Hasil konversi dari Bilangan hexadesimal 4FC₁₆ adalah 1276 desimal.

3.2  Konversi Bilangan Desimal ke Bilangan Non Desimal

a.    Konversi Bilangan Desimal ke Bilangan Oktal

            Di sini bilangan yang akan dikonversi adalah 78. Langkah yang akan dilakukan adalah membagi secara bertahap angka 78 dengan 8 hingga habis. Berikut langkah-langkahnya :

78 dibagi 8 = 9 sisa 6

9 dibagi 8 = 1 sisa 1

            Sama dengan konversi dari decimal ke biner, penulisan dimulai dari hasil pembagian terakhir kemudian dilanjutkan dengan angka sisa dari yang terakhir hingga yang pertama. Berikut hasilnya : 116₈.

b.    Konversi Bilangan Desimal ke Bilangan Hexadesimal

            Di sini bilangan yang akan dikonversi adalah 150. Langkah yang akan dilakukan adalah membagi secara bertahap angka 150 dengan 16 hingga habis. Berikut langkah-langkahnya :

150 dibagi 16 = 9 sisa 6

            Sama dengan konversi dari decimal ke biner, penulisan dimulai dari hasil pembagian terakhir kemudian dilanjutkan dengan angka sisa dari yang terakhir sampai yang pertama. Berikut hasilnya : 96₁₆.

3.3  Konversi Sistem Bilangan ke Biner

a.    Konversi Bilangan Desimal ke Bilangan Biner

            Di sini bilangan yang akan dikonversi adalah 54. Langkah yang akan dilakukan adalah membagi secara bertahap angka 54 dengan 2 hingga habis. Berikut langkah-langkahnya :

54 dibagi 2 = 27 sisa 0

27 dibagi 2 = 13 sisa 1

13 dibagi 2 = 6 sisa 1

6 dibagi 2 = 3 sisa 0

3 dibagi 2 = 1 sisa 1

            Penulisannya dimulai dari hasil pembagian terakhir kemudian dilanjutkan dengan angka sisa dari yang terakhir sampai yang pertama. Berikut hasilnya : 110110₂.

b.    Konversi Bilangan Oktal ke Bilangan Biner

            Kali ini bilangan yang akan coba dikonversi adalah bilangan octal 237₈. Karena 1 digit bilangan Oktal mewakili 3 Bit yaitu 4, 2, dan 1 maka setiap digitnya tinggal dimasukkan ke format 4 | 2 | 1, seperti contoh berikut ini :

2 disusun dari (0x4)+(1x2)+(0x1) maka biner dari 2 = 010

3 disusun dari (0x4)+(1x2)+(1x1) maka biner dari 3 = 011

7 disusun dari (1x4)+(1x2)+(1x1) maka biner dari 7 = 111

            Maka hasil Bilangan Biner dari Bilangan Oktal 237₈ adalah 010011111₂ atau 10011111₂ karena angka 0 di depan tidak perlu ditulis.

c.    Konversi Bilangan Hexadesimal ke Bilangan Biner

            Kali ini bilangan yang akan coba dikonversi adalah bilangan hexadesimal 5D₁₆. Perlu diketahui, 1 digit bilangan Hexa mewakili 4 Bit yaitu 8, 4, 2, dan 1 maka setiap digitnya tinggal dimasukkan ke format 8 |4 | 2 | 1, seperti contoh berikut ini :

5 disusun dari (0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) maka biner dari 5 = 0101

D (13 Desimal) disusun dari (1x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) maka biner dari D = 1101

            Maka hasil Bilangan Biner dari Bilangan Hexa 5D₁₆ adalah 01011101₂ atau 1011101₂ karena angka 0 di depan tidak perlu ditulis.

3.4  Konversi Sistem Bilangan Biner ke Sistem Bilangan Lain

a.    Konversi Bilangan Biner ke Bilangan Oktal

            Pada pembahasan ini yang akan coba dikonversi adalah bilangan 11001010₂. Untuk melakukan konversi ini maka bilangan biner tersebut dipilah-pilah setiap 3 Bit dari yang paling rendah (belakang). Hasil pemilahannya adalah sebagai berikut :

11    |     001   |    010

            Kemudian dimasukkan kerumus 421 karena bilangan oktal mewakili 3 Bit yaitu 4, 2 dan 1. Berikut perhitungannya :

(1x2)+(1x1)  |  (0x4)+(0x2)+(1x1)  |  (0x4)+(1x2)+(0x1) = (2+1)  |  (0+0+1)  |  (0+2+0) = 3 | 1 | 2

Dan cara penulisannya adalah 312₈.

b.    Konversi Bilangan Biner ke Bilangan Hexadesimal

            Pada pembahasan ini yang akan coba dikonversi adalah bilangan 11010₂. Untuk melakukan konversi ini maka bilangan biner tersebut dipilah-pilah setiap 4 Bit dari yang paling rendah (belakang). Hasil pemilahannya adalah sebagai berikut :

1    |       1010  

            Kemudian dimasukkan kerumus 8421 karena bilangan oktal mewakili 4 Bit yaitu 8, 4, 2 dan 1. Berikut perhitungannya :

(1x1)  |  (1x8)+(0x4)+(1x2)+(0x1)  |= 1  |  (8+0+2+0) = 1 | 10

            Karena pada Bilangan hexadesimal 10 adalah A maka hasil konversi dari Bilangan Biner 11010₂ adalah 1A₁₆.

4.    Aritmatika Digital

a.    Operasi Penjumlahan Bilangan Biner

            Pada bilangan biner yang hanya terdiri dari dua sistem bilangan (‘0’ dan ‘1’), sehingga operasi penjumlahan terhadap bilangan biner akan lebih sederhana, contoh:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11

            Sama hal-nya seperti pada operasi aritmatika penjumlahan pada bilangan desimal dimana bila ada hasil penjumlahan yang hasilnya dua digit, maka angka paling sebelah kiri akan dijumlahkan pada bilangan berikutnya atau dikenal dengan istilah ‘Disimpan’. Sebagai contoh perhatikan penjumlahan bilangan biner berikut ini.

              11  1   ←  (disimpan)  →   1
010101       1001001                 001101
100010       0011001                 100001
----------(+)   ----------(+)              ----------(+)
110111       1100010                 101110

b.    Operasi Pengurangan Bilangan Biner

            Operasi aritmatika pengurangan pada bilangan biner juga sama seperti operasi pengurangan pada bilangan desimal, sebagai contoh perhatikan operasi dasar pengurangan bilangan biner berikut ini.

0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
0 – 1 = 1 → bit ‘0’ meminjam 1 dari bit di sebelah kiri-nya
1 – 1 = 0

Contoh: Pengurangan 37 - 17 = 20 (desimal) atau 100101 - 010001 = 010100 (biner)

 1 → pinjam
100101 = 37
010001 = 17
-----------------(-)
010100 = 20

            Untuk menyatakan suatu bilangan desimal yang bernilai negatif adalah dengan menambahkan tanda negatif (-) pada bilangan-nya, contoh -1, -2, -3, -4, -5 dan seterusnya. Tetapi pada bilangan biner ini tidak bisa dilakukan, lalu bagaimana untuk membuat atau membedakan suatu bilangan biner itu bernilai negatif (-).
            Ada beberapa cara untuk membuat suatu bilangan biner bernilai negatif, cara yang pertama adalah dengan menambahkan ekstra bit pada bagian paling sebelah kiri bilangan (Most Significant Bit / MSB), contoh;

101 = +5 

Dengan menambahkan ekstra bit: 

0101 = +5 → 0 merupakan ekstra bit (MSB) untuk tanda positif (+)
1101 = -5 → 1 merupakan ekstra bit (MSB) untuk tanda negatif (-)

            Cara seperti di atas ternyata dapat menimbulkan salah persepsi jika kita tidak cermat, karena nilai -5 = 1101, 1101 dapat diartikan juga sebagai bilangan 13 dalam bilangan desimal. Maka digunakan cara kedua yaitu menggunakan satu metode yang dinamakan ‘Komplemen Dua’. Komplemen dua merupakan komplemen satu (yaitu dengan merubah bit ‘0’ menjadi ‘1’ dan bit ‘1’ menjadi ‘0’) kemudian ditambah satu, contoh;

0101 = +5 → ubah ke bentuk komplemen satu

1010 → komplemen satu dari 101 ini kemudian ditambahkan 1
      1
-------(+)
1111 → ini merupakan bentuk komplemen dua dari 0101 yang bernilai -5

Contoh lain, berapakah nilai -7 pada bilangan biner?

0111 = +7
1000 → bentuk komplemen satu
      1
-------(+)
1001 → bentuk komplemen dua dari 0111 yang bernilai -7

            Sedangkan contoh untuk operasi pengurangan menggunakan metode komplemen dua sebenarnya adalah operasi penjumlahan bilangan biner, perhatikan contoh berikut.
Contoh;

hasil penjumlahan +6 + (– 4) = 2 (desimal), bagaimana jika dalam operasi penjumlahan bilangan biner (komplemen dua)?

Jawab: Pertama kita cari bentuk komplemen dua dari +4

0100 = +4
1011 → komplemen satu dari 1100
      1
-------(+)
100 → komplemen dua dari 100

Lalu jumlahkan +6 = 110 dengan -4 = (100)

110
100
---(+)
010 = +2 → hasil penjumlahan 110 (+6) dengan 100 (-4)

            Yang perlu diperhatikan dari operasi pengurangan bilangan biner menggunakan metode komplemen dua adalah jumlah bit-nya. Pada contoh di atas semua operasi pengurangan menggunakan bilangan biner 3 bit (bit = binary digit), maksudnya disini adalah jika bilangan biner yang dihitung merupakan bilangan biner 3 bit maka hasilnya harus 3 bit. Seperti pada pengurangan 110 dengan 100 dimana pada digit paling sebelah kiri (MSB) pada kedua bilangan biner yakni ‘1’ dan ‘1’ jika dijumlahkan hasilnya adalah ‘10’ tetapi hanya digit ‘0’ yang digunakan dan digit ‘1’ diabaikan.

 1
 110
 100
-------(+)
1010 → ‘1’ pada MSB diabaikan pada operasi pengurangan biner komplemen dua

Contoh lain hasil pengurangan bilangan desimal 3 – 5 = -2 jika dalam biner.

11
011 → bilangan biner +3
011 → komplemen dua bernilai -5
------(+)
110 → hasilnya = -2 (komplemen dua dari +2)

            Untuk mengetahui apakah 110 benar-benar merupakan nilai komplemen dua dari +2 cara-nya sama seperti kita merubah dari biner positif ke biner negatif menggunakan metode komplemen dua. Perhatikan operasi-nya berikut ini.

110 = -2
001 → komplemen satu dari 110
    1
------(+)
010 → komplemen dua dari 110 yang bernilai +2

            Dari contoh semua operasi perhitungan di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa komplemen dua dapat digunakan untuk mengetahui nilai negatif dan nilai positif pada operasi pengurangan bilangan biner.

c.    Operasi Perkalian Bilangan Biner

            Sama seperti operasi perkalian pada bilangan desimal, operasi aritmatika perkalian bilangan biner pun menggunakan metode yang sama. Contoh operasi dasar perkalian bilangan biner.

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

Contoh perkalian 12 x 10 = 120 dalam desimal dan biner.

Dalam operasi bilangan desimal;

 12
 10
 ---(x)
 00
12
----(+)
120

Dalam operasi bilangan biner;

   1100 = 12
   1010 = 10
   ----(x)
   0000
  1100
 0000
1100
-------(+)
1111000 = 120

d.    Operasi Pembagian Bilangan Biner

            Operasi aritmatika pembagian bilangan biner menggunakan prinsip yang sama dengan operasi pembagian bilangan desimal dimana di dalamnya melibatkan operasi perkalian dan pengurangan bilangan.

Contoh pembagian 9 : 3 = 3 (desimal) atau 1001 : 11 = 11 (biner)

      ____
11 / 1001   = 11 → Jawaban
      11
      ---(-)
       11
       11
       ---(-)
        0

Contoh pembagian 42 : 7 = 6 (desimal) atau 101010 : 110 = 111 (biner)

        _______
110 / 101010   = 111 → Jawaban
       110
       ------(-)
        1001
         110
        ------(-)
          110
          110
          ----(-)
            0

Posted in: M_digital,Materi